Question

18．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x-2，x∈（{-∞，0}）\\{x^2}-2x-1，x∈[0，+∞）\end{array}$，x₁≤x₂≤x₃，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁+x₂+x₃的取值的范围是（　　）

• A． $[{\frac{3}{2}，2}）$
• B． $[{\frac{3}{2}，2}]$
• C． $（{-\frac{1}{2}，1}]$
• D． $[{\frac{1}{2}，2}）$

Answer 1

分析 由二次函数的对称性可得x₂+x₃=2，即有x₁+x₂+x₃=x₁+2，再由图象解得-$\frac{1}{2}$≤x₁＜0，进而得到所求范围．

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x-2，x∈（{-∞，0}）\\{x^2}-2x-1，x∈[0，+∞）\end{array}$，
当x＜0时，y＞-2；
当x≥0时，y=（x-1）²-2≥-2，
f（0）=f（2）=-1，
由x₁＜x₂＜x₃，且f （x₁）=f （x₂）=f （x₃），
则x₂+x₃=2，即有x₁+x₂+x₃=x₁+2，
当f（x₁）=-1即-2x₁-2=-1，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{1}{2}$≤x₁＜0，
可得$\frac{3}{2}$≤x₁+2＜2，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的图象和应用，考查二次函数的对称性，考查数形结合的思想方法，属于中档题和易错题．