题目内容

11．在区间[a，b]上，若f（x）＞0，f′（x）＞0，试用几何图形说明下列不等式成立：
f（a）（b-a）＜${∫}_{a}^{b}$f（x）dx＜f（b）（b-a）．

分析 根据函数的单调性，画出函数f（x）在区间[a，b]的大致图象，根据面积的关系判断不等式的大小即可．

解答 解：如图示：

（b-a）是长，f（a）是高，它们的乘积是个小矩形，
根据这个几何意义，
不等式两头的表示的都是矩形面积，
中间的是曲边梯形面积，
最右边的高于最左边的，

点评 本题考察了导数的意义，定积分的意义，是一道基础题．

练习册系列答案
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1．已知直线l1和l2在y轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线l1过点P（1，3），且点Q（2，2）到直线l2的距离为$\sqrt{5}$，求直线l1和直线l2的一般式方程．
2．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）已知函数f（x）=x2-x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．
1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）
2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；
（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．
19．已知函数f（x）=$\frac{a}{2}$x2-（a+1）lnx+x+1．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）=$\frac{a+1}{2}$x2-a1nx-ax+1-f（x），设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若a≥$\frac{3}{2}$，且g（x1）-g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．
6．给出下列四个命题：
①如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同；
②命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真命题；
③已知点A（-1，0），B（1，0），若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；
④对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件．
其中所有正确的命题的序号为①④．
16．若函数f（x）=|x+1|+|ax-1|是偶函数，则a=1．
3．已知坐标平面上两个定点A（0，3），O（0，0），动点M（x，y）满足：|MA|=2|OM|．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点N（-1，3）的直线l被C所截得的线段的长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．
20．已知函数f（x）=-x3+6x2-9x+8，则过点（0，0）可作曲线y=f（x）的切线的条数为（　　）
A．3B．0C．1D．2
1．若不等式$\frac{{x}^{2}-8x+20}{m{x}^{2}+2（m+1）x+9m+4}$＞0对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

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