Question

已知函数f（x）=x²+ax，g（x）=bx³+x．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点C（1，m）处具有公共切线，求实数m的值；
（2）当b=

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，a=-4时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[-3，4]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）当b=

1

3

，a=-4时时，则F（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x³+x²-3x，求导函数，确定函数极值，再求出区间上的端点值，比较大小即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax，
则f'（x）=2x+a，k₁=2+a，
g（x）=bx³+x，
则g'（x）=3bx²+1，k₂=3b+1，
由（1，c）为公共切点，可得：2+a=3b+1  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=

1

2

，b=

1

2

．
（2）当b=

1

3

，a=-4时，F（x）=f（x）+g（x）=）=

1

3

x³+x²-3x，
则F′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令F'（x）=0，解得：x₁=-3，x₂=1；
当x∈（-∞，-3）⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，
当x∈[-3，1）⇒F'（x）＜0⇒函数F（x）单调递减，
当x∈（1，+4]⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，
∵F（-3）=9，F（4）=

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，
∴函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[-3，4]上的最大值为

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点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．