Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x（x＞0），其中a为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

，对任意的正整数m，n成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；
（2）通过讨论a的范围得到答案；
（3）问题转化为

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，分别令x=m+1，m+2，m+3，…，m+n，得到

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

1

m

-

1

m+n

，从而得到答案．

解答： 解：（1）因为f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-a)(x-1)

x

，（x＞0），
①当a≤0时，令f′（x）＞0得x＞1；f′（x）＜0得0＜x＜1，
此时，函数f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1），
②当0＜a＜1时，令f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a；f′（x）＜0得a＜x＜1，
此时，函数f（x）的增区间是（1，+∞）和（0，a），减区间是（a，1），
③当a=1时，f′（x）≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
此时，函数f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间，
④当a＞1时，令f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1；f′（x）＜0得1＜x＜a
此时，函数f（x）的增区间是（a，+∞）和（0，1），减区间是（1，a）．
（2）由于f(1)=-

1

2

-a，
显然当a＞0时，f（1）＜0，此时，f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的；
当a≤0时，根据（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极小值（也是最小值）是f(1)=-

1

2

-a，
此时只要f（x）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
故实数a的了取值范围是a≤-

1

2

．
（3）当a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0（当且仅当x=1时等号成立），
则lnx≤x²-x，当x＞1时，此不等式可以变形为

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，
分别令x=m+1，m+2，m+3，…，m+n，
则：

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞（

1

m

-

1

m+1

）+（

1

m+1

-

1

m+2

）+…+（

1

m+n-1

-

1

m+n

）
=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

，
故 

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查了不等式的证明，本题属于中档题．