Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的零点个数；

（2）若函数的最小值为2，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）零点个数为2；（2）.

【解析】

（1）由得或，再构造函数，求出其单调区间和极值，可判断出与的图像只有一个交点，从而可求出其零点的个数；

（2）由于，所以可化为，通过对求导判断其单调区间极值，可得其值域为，所以问题转化为当时，有解，得，然后构造函数求其值域可得的取值范围.

（1）依题意，，令，

解得或，

令，则，

故当时，，当时，，

故当时，有最小值，且当时，，

故只有1个实数根，故当时，函数的零点个数为2.

（2）依题意，，

设，则，

故函数可化为，

由，可得的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，

故函数的值域为，

问题转化为当时，有解，

即，得，

设，则，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，故实数的取值范围为.