Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)6

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.

试题解析：

(1)设动圆的半径为，由题意知

从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，

并去 除点，从而轨迹的方程为.

（2）设的方程为，联立，

消去得，设点，

有则，

点到直线的距离为，点到直线的距离为，

从而四边形的面积

令，有，函数在上单调递增，

有，故，即四边形面积的最大值为.