Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）

A.椭圆的焦距为B.椭圆的短轴长为

C.的最小值为D.过点的圆的切线斜率为

Answer 1

【答案】AD

【解析】

由题意可求得的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得的值，进而可判断出A、B选项的正误；利用圆的几何性质可判断C选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率，可判断D选项的正误.综合可得出结论.

圆的圆心为，半径长为，

由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则，可得，

设椭圆的左焦点为点，由椭圆的定义可得，，

所以，，

当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，

则，，解得，

所以，椭圆的焦距为，A选项正确；

椭圆的短轴长为，B选项错误；

，

当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，C选项错误；

若所求切线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到该直线的距离为，则直线与圆相离，不合乎题意；

若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，

由题意可得，整理得，解得.

D选项正确.

故选：AD.