Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调递增区间，无单调递减区间；

当时，单调递增区间为，单调减区间为

（2）.

【解析】

（1）首先求出函数的定义域以及导函数，然后讨论或，确定的符号即可求解.

（2）分离参数可得，令，利用导数求出函数的最值，即可求出实数的取值范围.

（1）由，则函数的定义域为，

且，

当时，，即，

所以函数在上单调递增，无单调递减区间；

当时，令，即，解得，

令，即，解得

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间

综上所述，当时，函数的单调递增区间，无单调递减区间；

当时，单调递增区间为；

单调递减区间为；

（2）关于的方程有解，，

即有解，

即，

令，

，

设，

由在为增函数，在为增函数，

在也为增函数，

所以在为增函数，

由，

所以当时，，

当时，，

即当时，；当时，，

所以在为减函数，在为单调递增，

所以

所以