Question

【题目】设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

(1)首先可根据题意得出，然后根据得出，最后通过计算出的值并写出椭圆方程；

(2)首先可以设、，然后根据直线过点设出直线方程，再然后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理得出以及，再然后结合题意得出四边形是平行四边形以及其面积，最后通过计算即可得出结果.

(1)因为椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，

所以，，

因为，所以，

所以椭圆C方程为.

(2)设，，

因为直线过点，所以可设直线方程为，

联立方程，消去可得：，

化简整理得，

其中，

，，

因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，

则，

设，则，

所以，

因为，所以，，

所以四边形面积的最大值为6.