Question

11．点M（x，y）在圆x²+（y-2）²=1上运动，则$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）∪{0}
• C． $[{-\frac{1}{4}，0}）∪（{0，\frac{1}{4}}]$
• D． $[{-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 利用圆的对称性，通过x的范围，利用基本不等式求解表达式的范围，判断即可．

解答 解：圆x²+（y-2）²=1的圆心（0，2），半径为：1；可知x∈[-1，1]，
当x＞0时y＞0，则0＜$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{1}{4\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{x}}}$=$\frac{1}{4}$当且仅当y=2x=$\frac{6}{5}$时取等号．
由圆的对称性可知：x＜0时，则$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$∈[-$\frac{1}{4}$，0）
当x=0时，则$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$=0，则$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用不等式的最值的求法，考查计算能力．