Question

6．已知函数$f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间和对称中心坐标；
（3）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y=g（x）在$x∈[0，\frac{7π}{6}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象可求A，B，T，利用周期公式可得$ω=\frac{2π}{T}=2$，由图象及五点法作图可求φ，即可得解f（x）的函数解析式．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，可求f（x）的对称中心的坐标．
（3）由已知的图象变换过程可得：g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），结合范围0≤x≤$\frac{7π}{6}$，可求$\frac{2π}{3}$$≤x+\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由图象可知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=1}\\{-A+B=-3}\end{array}\right.$，可得：A=2，B=-1，…（2分）
又由于$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，可得：T=π，所以$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（3分）
由图象及五点法作图可知：2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．…（4分）
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，…（6分）
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的对称中心的坐标为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，-1），k∈Z．…（8分）
（3）由已知的图象变换过程可得：g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），
因为0≤x≤$\frac{7π}{6}$，所以$\frac{2π}{3}$$≤x+\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，…（10分）
所以当x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，得x=$\frac{5π}{6}$时，g（x）取得最小值g（$\frac{5π}{6}$）=-2，
当x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即x=0时，g（x）取得最大值g（0）=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数平移变换的规律，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．