Question

5．证明函数u=$\frac{1}{r}$，满足方程$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$，其中r=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$．

Answer 1

分析 运用二阶偏导数的运算法则，先求一阶偏导数，再由二阶偏导数，化简整理即可得证．

解答 证明：由u（x，y，z）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，
可得$\frac{∂u}{∂x}$=-$\frac{x}{（{x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$，$\frac{∂^2u}{∂x^2}$=$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}{（{x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，
同理可得，$\frac{∂^2u}{∂y^2}$=$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，$\frac{∂^2u}{∂z^2}$=$\frac{2{z}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{（x+{y}^{2}+{z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，
即有$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$．

点评 本题考查二阶偏导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．