Question

8．已知不等式ax²+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求实数a，c的值；
（2）若不等式ax²+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用一元二次不等式的解法、二次函数的性质、韦达定理，求得a、c的值．
（2）解一元二次不等式求得A，再根据A⊆B，可得-m≤2，由此求得m的范围．

解答 解：（1）依题意，得1，3是方程ax²+x+c=0的两根，且a＜0，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{1+3=-\frac{1}{a}}\\{1×3=\frac{c}{a}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=-\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$．
（2）由（1），得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=-\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，∴ax²+2x+4c＞0，即为$-\frac{1}{4}{x^2}+2x-3＞0$，
解得2＜x＜6，所以A=（2，6）．
又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，解得x＞-m，所以B=（-m，+∞）．
∵A⊆B，∴-m≤2，即m≥-2，∴实数m的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，集合间的包含关系，属于中档题．