Question

3．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F₁，F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁与e₂满足的关系是（　　）

• A． $\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• B． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• C． e₁+e₂=2
• D． e₂-e₁=2

Answer 1

分析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得10+n=2a₁，10-n=2a₂，则n=a₁-a₂，计算可得$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2．

解答 解：如图，设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得10+n=2a₁，
由双曲线的定义可得10-n=2a₂，
则n=a₁-a₂，
∵${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$，${e}_{2}=\frac{c}{{a}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}-\frac{1}{{e}_{2}}=\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}=\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{c}=\frac{n}{c}=\frac{2c}{c}=2$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，关键是圆锥曲线定义的应用，属于中档题．