Question

13．已知$f（n）=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…$$+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}$$+…+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}$（n∈N^*），则当k∈N^*时，f（k+1）-f（k）等于（　　）

• A． $\frac{1}{{（{{k^2}+1}）}}$
• B． $\frac{1}{k^2}$
• C． $\frac{1}{{{{（{k-1}）}^2}}}+\frac{1}{k^2}$
• D． $\frac{1}{{{{（{k+1}）}^2}}}+\frac{1}{k^2}$

Answer 1

分析 当k∈N^*时，f（k+1）-f（k）=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-（$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$），由此能求出结果．

解答 解：∵$f（n）=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…$$+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}$$+…+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}$（n∈N^*），
∴当k∈N^*时，f（k+1）-f（k）
=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-（$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$）
=$\frac{1}{k{\;}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}$．
故选：D．

点评 本题考查函数式求值，考查待定系数法的应用，考查学生分析解决问题的能力，考查函数的性质及应用，是基础题．