Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），F₁，F₂分别为椭圆的左，右焦点，如图过F₂且斜率为1的直线与椭圆相交于P，Q两点，且$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，则椭圆的离心率e=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设P，Q两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由椭圆的第二定义可知：丨PF₂丨=a-ex₁，丨QF₂丨=a-ex₂，则a²=c（2x₂-x₁），将直线AB的方程代入椭圆方程，即可求得x₁和x₂，代入由c²=a²-b²，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率e．

解答 解：设P，Q两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由椭圆的第二定义可知：丨PF₂丨=a-ex₁，丨QF₂丨=a-ex₂，
∴x₂＞x₁，
由$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，即丨PF₂丨=2丨QF₂丨，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，
∴a=$\frac{c}{a}$（2x₂-x₁），整理得：a²=c（2x₂-x₁），
由题意可知：直线PQ的方程为：y=x-c，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
由椭圆的性质可知：c²=a²-b²，
代入解得：x₁=$\frac{{a}^{2}c-\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₂=$\frac{{a}^{2}c+\sqrt{2}a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
代入整理得：3$\sqrt{2}$ac³-2a²c²-3$\sqrt{3}$a³c+2a⁴=0，等式两边同除以a⁴，
整理得：3$\sqrt{2}$e³-2e²-3$\sqrt{2}$e+2=0，即（e-1）[3$\sqrt{2}$e²+（3$\sqrt{2}$-2）e-2]=0，
解得：e=±1，e=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的第二定义的应用，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题．