Question

18．若函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在区间[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，则实数a的值为$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 对原函数求导，然后分a＜1，1≤a≤e，e＜a，情况讨论原函数在[1，e]上的单调性，并求得最小值，由最小值等于$\frac{3}{2}$求得a的值．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
f′（x）=0则x=a，若a＜1，则f（x）_min=f（1）=a=$\frac{3}{2}$，不满足题意；
若a＞e，则f（x）_min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，则a=$\frac{e}{2}$＜e，不合题意；
若e≥a≥1，则f（x）_min=f（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，则a=$\sqrt{e}$＜e，满足题意；
故答案为：$\sqrt{e}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查分类讨论的数学思想方法，是中高档题．