Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄+a₇=20，对任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ⁺¹-2．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列a₁b_n，a₂b_n-1，…，a_n-1b₂，a_nb₁各项的和G_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄+a₇=20，对任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得a₁，d，可得a_n．
（II）数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ⁺¹-2．利用递推关系：n=1时，b₁=T₁．n≥2时，b_n=T_n-T_n-1．即可得出b_n．
G_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁=1×2ⁿ+3×2^n-1+5×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄+a₇=20，对任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴n=1时，b₁=T₁=2．n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，n=1时也成立．
∴b_n=2ⁿ．
G_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁=（2×1-1）×2ⁿ+（2×2-1）×2^n-1+（2×3-1）×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2=1×2ⁿ+3×2^n-1+5×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2，
$\frac{1}{2}$G_n=1×2^n-1+3×2^n-2+…+（2n-3）×2+（2n-1）×1，
∴$\frac{1}{2}{G}_{n}$=2ⁿ+2×2^n-1+2×2^n-2+…+2×2-（2n-1）=2ⁿ+2ⁿ+2^n-1+…+2²-（2n-1）=2ⁿ+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）=3×2ⁿ-2n-3，
可得G_n=3×2ⁿ⁺¹-4n-6．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．