Question

15．若不等式a²+b²+2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数λ的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 不等式a²+b²+2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，可得λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$．由于$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵不等式a²+b²+2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，
∴λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$．
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}$≥2$\sqrt{\frac{a+b}{2}•\frac{2}{a+b}}$=2．当且仅当a=b=1时取等号．
∴λ＜2．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．