Question

11．设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是2＜r＜4．

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2$\sqrt{3}$，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y²=4x，得y²=12，
∴-2$\sqrt{3}$＜y₀＜2$\sqrt{3}$，
∵M在圆上，
∴（x₀-5）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+4≤12+4=16，
∵直线l恰有4条，
∴y₀≠0，
∴4＜r²＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故答案为：2＜r＜4．

点评 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题