Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求2a-c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求解角B；
（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理结合两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$bcosC+\sqrt{3}bsinC=a+c$，
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sinA+sinC$．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sin（B+C）+sinC$．
化简，得$sinC（\sqrt{3}sinB-cosB-1）=0$．
又sinC＞0，∴$\sqrt{3}sinB-cosB-1=0$．∴$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
又0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$B=\frac{π}{3}$，∴$A+C=\frac{2π}{3}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，即a=2sinA，c=2sinC．
所以$2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）$=$3sinA-\sqrt{3}cosA=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA）$=$2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$．∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$．∴$-\frac{1}{2}＜sin（A-\frac{π}{6}）＜1$，$-\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）＜2\sqrt{3}$．
所以2a-c的取值范围为$（-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．