Question

2．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数奇偶性的定义判断求解即可；
（2）利用单调增函数的定义判断证明即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$，
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），$f（-x）=-x-\frac{1}{-x}=-（x-\frac{1}{x}）=-f（x）$
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（4分）
（2）证明：x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}-\frac{1}{x_2}-（{x_1}-\frac{1}{x_1}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1+{x_1}{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{x_1}＞0\\ 1+{x_1}{x_2}＞0\\{x_1}{x_2}＞0\end{array}\right.⇒f（{x_2}）-f（{x_1}）＞0$，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（8分）

点评 本题考查函数的奇偶性以及单调性的判断与证明，是基本知识的考查．