Question

已知过点P（1，2）的直线l，被双曲线2x²-y²=2截得的弦AB长4

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意作图，设直线l的方程为y=k（x-1）+2，从而可得（2-k²）x²+（2k^2-4k）x-k²+4k-6=0，从而可得m+n=-

2k2-4k

2-k2

，m•n=

-k2+4k-6

2-k2

；利用弦长公式可得2k⁴+2k³-11k²+2k+5=0，从而解得k=1，从而写出直线的方程即可．

解答： 解：作图如右图，
设直线l的方程为y=k（x-1）+2，
与双曲线方程2x²-y²=2联立消y得，
（2-k²）x²+（2k^2-4k）x-k²+4k-6=0，
设A（m，k（m-1）+2），B（n，k（n-1）+2）；
故m+n=-

2k2-4k

2-k2

，m•n=

-k2+4k-6

2-k2

；
则由弦AB长4

2

可得，

1+k2

•|m-n|=4

2

，
即（1+k²）[（-

2k2-4k

2-k2

）²-4

-k2+4k-6

2-k2

]=32，
化简可得，2k⁴+2k³-11k²+2k+5=0，
解得，k=1；
故直线l的方程为y=x+1．

点评：本题考查了圆锥曲线的应用及运算化简能力，属于中档题．