Question

18．已知函数f（x）=e²-ax-1，g（x）=ln（e^x-1）-lnx
（1）求证：当ax＜x时，f（x）＞0恒成立；
（2）当a≤1，对任意x＞0，比较f（g（x））与f（x）的大小．

Answer 1

分析 （1）f（x）=e^x-ax-1＞e^x-x-1，设F（x）=e^x-x-1，F′（x）=e^x-1，确定其单调性，即可证明结论；
（2）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，a≤1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，证明x＞0时，0＜g（x）＜x恒成立，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵ax＜x，∴f（x）=e^x-ax-1＞e^x-x-1
设F（x）=e^x-x-1，F′（x）=e^x-1
x＞0时，F′（x）＞0，函数单调递增；x＜0时，F′（x）＜0，函数单调递减，
∴F（x）≥F（0）=0；
∴f（x）＞F（x）≥0，
∴ax＜x，时，f（x）＞0恒成立；
（2）解：g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$（x＞0），
由（1）可知x＞0时，F（x）＞0，∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，
∴g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0
设h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=xe^x，
x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）＞h（0）=0，
∴（x-1）e^x+1＞0，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜e^x，∴g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜x，
∴x＞0时，0＜g（x）＜x恒成立．
由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
a≤1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵x＞0时，0＜g（x）＜x恒成立，
∴f（g（x））＜f（x），
∴对任意x＞0，f（g（x））＜f（x）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．