Question

9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求异面直线BD与A₁E所成的角；
（2）确定E点的位置，使平面A₁BD⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）连接AC，A₁C₁，证明AA₁⊥BD．AC⊥BD，然后证明BD⊥平面ACC₁A₁，推出BD⊥A₁E．
（2）E为CC₁中点．设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接A₁O，EO，求出A₁O²+OE²⁼$\frac{9}{4}$a²，证明A₁O⊥OE．证明A₁O⊥平面BDE．然后证明平面A₁BD⊥平面BDE．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）连接AC，A₁C₁，
∵正方体AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．

∵正方体ABCD中，AC⊥BD且AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁，
∴A₁E?平面ACC₁A₁，∴BD⊥A₁E．
（2）E为CC₁中点．
设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接A₁O，EO，

由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E为CC₁中点，
∴A₁O²+OE²=AA${\;}_{1}^{2}$+AO²+OC²+EC²=a²+$（{\frac{\sqrt{2}a}{2}）}^{2}$+$（{\frac{\sqrt{2}a}{2}）}^{2}$+$（\frac{a}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$a²，
A₁E²=A₁${{C}_{1}}^{2}$+C₁E²=2a²+$\frac{{a}^{2}}{9}$=$\frac{9}{4}$a²，即A₁O²+OE²=A₁E²，∴A₁O⊥OE．
又OE∩BD=O，∴A₁O⊥平面BDE．又A₁O?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面BDE．

点评 ′本题考查平面与平面垂直，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．