Question

8．在平面直角坐标系中，圆C：（x-3）²+（y-1）²=9上，圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点，则a=-1．

Answer 1

分析 将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于c的方程，即可求解，注意方程判别式的验证．

解答 解：由直线x-y+a=0与圆C：（x-3）²+（y-1）²=9，消去y，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0①
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x₁x₂=$\frac{（a-1）^{2}}{2}$，x₁+x₂=4-a．②
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，即2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0③
将②代入③得：a²+2a+1=0． 
解得：a=-1，
判别式△＞0，满足题意
故答案为：-1．

点评 本题综合考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．