Question

6．设$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1-{x^2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}$）
• B． （2，e）
• C． （$\sqrt{e}$，2）
• D． $（\frac{1}{2}，\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由题意，方程方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，等价于y=f（x）与y=kx-$\frac{1}{2}$有4个交点，求出直线y=kx-$\frac{1}{2}$过（1，0）时k的值及直线与y=lnx相切时k的值，即可求出k的取值范围．

解答 解：由题意，直线y=kx-$\frac{1}{2}$过（1，0）时，k=$\frac{1}{2}$，
x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
直线与y=lnx相切时，设切点坐标为（a，lna），则切线方程为y-lna=$\frac{1}{a}$（x-1），即y=$\frac{1}{a}$x-1+lna，
令-1+lna=-$\frac{1}{2}$，则a=$\sqrt{e}$，∴k=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
∴方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，实数k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），
故选：A．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，属于中档题．