题目内容

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2+b2=2012c2，求证
2sinAsinBcosC
sin2(A+B)
为定值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入得到关系式，记作①，利用正弦定理化简，整理即可得出所求式子结果为定值．
解答： 证明：∵a2+b2=2012c2，
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
2012c2-c2
2ab
=
2011c2
2ab
，即2abcosC=2011c2，①
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入①得：2•2RsinA•2RsinBcosC=2011•4R2sin2C，即2sinAsinBcosC=2011sin2C=2011sin2（A+B），
则
2sinAsinBcosC
sin2(A+B)
=2011．
点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为（
3
，1），则cos（α+
π
3
）的值是（　　）
A、-0.5B、0C、0.5D、1
数列a，b，5a，7，3b，…c成等差数列，且a+b+5a+7+3b+…+c=2500，求a，b，c．
已知函数f（x）=
2
3
x+
1
2
，h（x）=
x
，设n∈N*，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥
1
6
．
设两个命题p、q，其中p：?x∈R，不等式x2+2x-1＞0恒成立；q：当
3
4
＜a＜1时，函数f（x）=（4a-3）x在R上为减函数，则下列命题为真命题的是（　　）
A、p∧qB、￢p∧￢q
C、￢p∧qD、p∧￢q
已知
a
=（10，-5），
b
=（3，2），
c
=（-2，2），试用
b
，
c
表示
a
．
已知a，b∈R，i为虚数单位，若a-i=2+bi，则（a+bi）2=
 
．
如图所示，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA并交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：∠EFD=∠DAE；
（Ⅱ）求证：AB2=BE•BD-AE•AC．
已知在△ABC中，AB，AC的长度均为1，它们的夹角为60°，则|
AB
+2
CA
|=
 
．

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