Question

10．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna-b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然对数的底数，
（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性
（2）当a＞1时，若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，求实数b的取值范围．（参考公式：（a^x）'=a^xlna）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，得到关于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
当a＞1时，lna＞0，当x∈（0，+∞）时，2x＞0，a^x＞1，∴a^x-1＞0，
所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，lna＜0，当x∈（0，+∞）时，2x＞0，a^x＜1，∴a^x-1＜0，
所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①当x＞0时，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；
②当x＜0时，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；
③当x=0时，f'（x）=0，∴f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）_min=f（0）=1-b，
若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，
即f（x）_min≤e-1即可，故1-b≤e-1，
解得：b≥2-e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．