Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

则下列结论正确的是（　　）

• A、函数f（x）的值域为[1，4]
• B、关于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
• C、当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为3
• D、不存在实数x₀，使不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由分段函数，求出1≤x≤2，2≤x≤4，4≤x≤8函数的表达式，画出草图，通过图象可知函数的值域为[0，4]，
可判断A；当n=1时，f（x）-

1

2

=0有7个不相等的实根，可判断B；当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），时，函数f（x）的最高点为2^3-n，可求出与x轴围成的面积可判断C；函数f（x）的最高点都在曲线y=

6

x

（x＞0）上，可判断D．

解答： 解：当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8；

3

2

≤x≤2时，f（x）=16-8x；
设2≤x≤3，则1≤

x

2

≤

3

2

，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=2x-4；
3≤x≤4，则

3

2

≤

x

2

≤2，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=8-2x；
4≤x≤6，则2≤

x

2

≤3，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

x

2

-2；
6≤x≤8，则3≤

x

2

≤4，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=4-

x

2

．
画出草图，
知函数的值域为[0，4]，
故A错；
当n=1时，f（x）-

1

2

=0在[1，8]上有6个不相等的实根，[8，16]上只有一个实根，以后再没有了，
共有7个不相等的实根，
故B错；
函数f（x）的最高点为以4为首项，公比为

1

2

的等比数列．
故当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），时，函数f（x）的最高点为2^3-n，与x轴围成的面积为

1

2

×2^3-n×2^n-1=2．故C错；
函数f（x）的最高点都在曲线y=

6

x

（x＞0）上，故D正确．
故选D．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．