Question

点A、B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P（

3

2

，

5

2

3

）在椭圆上，又椭圆离心率e=

2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,点到直线的距离公式

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）依题意得

( 3 2 )2 a2 + ( 5 3 2 )2 b2 =1 c a = 2 3 a2-b2=c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），直线AP的方程为x-

3

y+6=0，设点M（m，0），由题意得

|m+6|

2

=|m-6|，由此能求出当x=

9

2

时，d取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得

( 3 2 )2 a2 + ( 5 3 2 )2 b2 =1 c a = 2 3 a2-b2=c2

，
解得a²=36，b²=20，
∴椭圆C的方程为

x2

36

+

y2

20

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），
∴直线AP的方程为x-

3

y+6=0，
设点M（m，0），由题意得

|m+6|

2

=|m-6|，
又-6≤m≤6，
∴m=2，∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5

9

x2=

4

9

(x-

9

2

)2+15，
∴当x=

9

2

时，d取得最小值

15

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上的点到点M的距离d的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．