Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求异面直线EF与PA所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，交AC于点E，可证EF∥PD，从而证明EF∥平面PCD．
（2）异面直线EF与PA所成角的平面角为∠APD，求其大小即可．

解答： 解：（1）证明：连结BD，交AC于点E，
∵E，F分别是AC，PB的中点，
∴EF∥PD，又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD；
∴EF∥平面PCD．
（2）由（1）知，异面直线EF与PA所成角的平面角为∠APD；
又∵PA=AB，∴PA=AD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴△APD为等腰直角三角形，
∴∠APD=45°．
即异面直线EF与PA所成角为45°．

点评：本题考查了学生的空间想象力及线面平行的判定定理，属于基础题．