Question

数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_n+T=a_n对于任意正整数n均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），则当数列{x_n}的周期为3时，它的前2014项的和S₂₀₁₄=

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*）．可得x₃=|x₂-x₁|=1-m．x₄=|x₃-x₂|=|1-2m|，再利用周期为3可得x₄=x₁，m≠0，于是2m-1=1，解得m，可得x₁+x₂+x₃=1+m+1-m=2．再利用周期性可求数列{x_n}的前2014项的和S₂₀₁₄．

解答： 解：∵x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|m-1|，又数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||m-1|-m|=x₁=1，
解得：m=1或m=0，
∵m≠0，∴m=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2；
又x₂₀₁₄=x₁=1，2014=671×3+1，
∴S₂₀₁₄=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄
=671×（1+1+0）+1
=1343．
故答案为：1343．

点评：本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题．