Question

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值．

Answer 1

解　(1)由题意可知，△AF₁F₂为等边三角形，a＝2c，

所以e＝.

(2)方法一　a²＝4c²，b²＝3c²，

直线AB的方程为y＝－(x－c)，

将其代入椭圆方程3x²＋4y²＝12c²，得B，

所以|AB|＝·＝c.

由S_△AF1B＝|AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝a²＝40，

解得a＝10，b＝5.

方法二　设|AB|＝t.因为|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a.

由椭圆定义|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a.

由S_△AF1B＝a·a·＝a²＝40 知，

a＝10，b＝5.