Question

12．设数列{d_n}的前n项的和为S_n，d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），求S_n．

Answer 1

分析 由d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．利用“累乘求积”方法、等差数列的求和公式、指数的运算法则即可得出．

解答 解：∵d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴S_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$$•\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n-2}}$•…•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•S₁=$\frac{1}{{4}^{n}}$×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$×…×$\frac{1}{{4}^{3}}×\frac{1}{{4}^{2}}$×1=$\frac{1}{{4}^{\frac{（n-1）（2+n）}{2}}}$=$\frac{1}{{2}^{{n}^{2}+n-2}}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法、等差数列的求和公式、指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．