Question

11．在平面直角坐标系中，直线l经过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，现以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于 A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l经过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，即可得出直线的参数方程．曲线C 的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）代入y²=8x中，可得得，${t^2}+4（1-4\sqrt{3}）t-28=0$．设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，由t的几何意义可知，|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）；
曲线C的直角坐标方程为y²=8x
（2）将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）代入y²=8x中，得$（1+\frac{1}{2}t{）^2}=8（1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）$
整理得，${t^2}+4（1-4\sqrt{3}）t-28=0$
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=4（4\sqrt{3}-1），{t_1}{t_2}=-28$
由t的几何意义可知，|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=28

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、抛物线的参数方程与直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．