Question

7．已知sin$\frac{x}{2}$-2cos$\frac{x}{2}$=0．
（1）求tanx的值；
（2）求$\frac{1+cos2x+sin2x}{{sin（x+\frac{π}{4}）sinx}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得 tan$\frac{x}{2}$ 的值，再利用二倍角公式求得 tanx 的值．
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得要求的式子为 2$\sqrt{2}$•cotx，可得结果．

解答 解：（1）∵已知sin$\frac{x}{2}$-2cos$\frac{x}{2}$=0，∴sin$\frac{x}{2}$=2cos$\frac{x}{2}$，∴tan$\frac{x}{2}$=2，
∴tanx=$\frac{2tan\frac{x}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{4}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$．
（2）$\frac{1+cos2x+sin2x}{{sin（x+\frac{π}{4}）sinx}}$=$\frac{{（sinx+cosx）}^{2}+{（cos}^{2}x{-sin}^{2}x）}{sinx（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）}$=$\frac{（sinx+cosx）•（sinx+cosx+cosx-sinx）}{\frac{\sqrt{2}}{2}sinx•（sinx+cosx）}$=2$\sqrt{2}$•cotx=2$\sqrt{2}$•（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．