Question

18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，${a^2}+{c^2}-{b^2}-\sqrt{3}ac=0$．
（1）求B．
（2）若$a=\sqrt{3}，b=1$，求A．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，利用余弦定理可求cosB，结合B的范围，即可得解B的值．
（2）利用正弦定理可求sinA，进而可求A．

解答 解：（1）在△ABC中，∵${a^2}+{c^2}-{b^2}-\sqrt{3}ac=0$，
∴a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）∵$a=\sqrt{3}，b=1$，B=$\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a＞b，
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．