Question

2．（1）求函数y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-cosx}$的定义域．
（2）求函数y=cos²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{\frac{1}{2}-cosx≥0}\end{array}\right.$，即可求得函数的定义域；
（2）利用同角三角函数的基本关系及二次函数的性质可知y=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，由x的取值范围，sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，由二次函数的性质即可求得函数的值域．

解答 解：（1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{\frac{1}{2}-cosx≥0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{2kπ≤x≤π+2kπ}\\{\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{5π}{3}+2kπ}\end{array}\right.$（k∈Z），
即2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π，（k∈Z），
∴函数的定义域为：{x丨2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π（k∈Z）}；
（2）y=cos²x-sinx=-sin²x-sinx+1=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]，
∴sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故当sinx=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{5}{4}$，当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数取得最小值为$\frac{2-2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查函数的定义域及值域的求法，考查同角三角函数基本关系，正弦函数图象及性质，二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．