Question

20．若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$$+\frac{cosB}{b}$=$\frac{2ccosC}{ab}$
（1）求C的值
（2）若a=2，c=$\sqrt{5}$，求b的大小．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理转化求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由已知$\frac{cosA}{a}$$+\frac{cosB}{b}$=$\frac{2ccosC}{ab}$，
可得：acosB+bcosA=2ccosC，
由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．
可得：sin（A+B）=2sinCcosC．即sinC=2sinCcosC，
因为C是三角形内角，所以sinC≠0．
∴cosC=$\frac{1}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，a=2，c=$\sqrt{5}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵c²=a²+b²-2bacosA，
∴5=4+b²-2b，可得b²-2b-1=0，b＞0．
解得b=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．