Question

19．定义在（0，$\frac{π}{2}$），上的函数f（x），f′（x）是导函数，满足f（x）＜f′（x）tanx，则下列表达式正确的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$•f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$•f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（1）＞2•f（$\frac{π}{6}$）•sin1
• C． $\sqrt{2}$•f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{3}$•f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数，利用函数的单调性判断求解即可．

解答 解：在区间（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）满足f（x）＜f′（x）tanx，
可得：sinx•f′（x）-cosxf（x）＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{sinxf′（x）-cosxf（x）}{si{n}^{2}x}$＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
∴g（1）＞g（$\frac{π}{6}$），g（$\frac{π}{4}$）＜g（$\frac{π}{3}$），g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$），g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$）
∴$\frac{f（1）}{sin1}$＞$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$，$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴f（1）＞2•f（$\frac{π}{6}$）•sin1，$\sqrt{3}$•f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$•f（$\frac{π}{3}$），$\sqrt{2}$•f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$•f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性的应用，考查构造法以及转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题