Question

7．直线y=k（x-3）+4与曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有一个交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线l经过点（3，4），曲线C表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆．求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的值，即可得到本题答案．

解答 解：∵直线l：y=k（x-3）+4经过定点（3，4），
曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，化简得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆，
∴直线l与曲线C有两个交点，即直线与半圆相交，
求得当直线与半圆相切时，斜率k=$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$，
当直线l为经过点（-2，1）时，k=$\frac{3}{5}$，当直线l为经过点（2，1）时，k=3．
∵直线y=k（x-3）+4与曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有一个交点，
∴k的取值范围为（$\frac{3}{5}$，3]∪{$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$}．

点评 本题以两条曲线有两个交点为例，求斜率k的范围，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．