Question

1．若实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{11}$，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{3}{11}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
• D． [3，$\frac{11}{3}$]

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，化简目标函数，求出直线的斜率的范围，利用函数的最值求解目标函数的范围即可．

解答 解：实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$可行域如图：
$\frac{y}{x}$的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，
可得$\frac{y}{x}$∈[1，3]．
$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，g（t）=$\frac{2}{t}+t$，t∈[1，3]，g（t）∈[2$\sqrt{2}$，$\frac{11}{3}$]，
$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{3}{11}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
故选：B．

点评 本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的几何意义，求解范围是解题的关键．