Question

11．已知函数f（x）=xe^2x+alnx+2ax（a∈R）．
（1）当a＜0时，讨论函数f（x）的零点的个数；
（2）若x＞0时，恒有f（x）＜alnx+2ax+（2-k）（e^4x-1）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0可得-a=$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$，令g（x）=$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$，判断g（x）的单调性，计算g（x）的极值，从而得出方程-a=g（x）的解的个数，从而得出f（x）的零点个数；
（2）由题意可得2-k＞$\frac{x{e}^{2x}}{{e}^{4x}-1}$在（0，+∞）恒成立，设h（x）=$\frac{x{e}^{2x}}{{e}^{4x}-1}$，求出h（x）在（0，+∞）上的值域即可得出k的范围．

解答 解：（1）令f（x）=0可得-a=$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$，
设lnx+2x=0的解的x₁，则显然0＜x₁．
∴当0＜x＜x₁时，∴$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$＜0，当x＞x₁时，$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$＞0．
∵a＜0，∴方程-a=$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$无解，即f（x）在（0，x₁）上无零点．
令g（x）=$\frac{x{e}^{2x}}{lnx+2x}$（x＞x₁），可得g′（x）=$\frac{（2x+1）{e}^{2x}（lnx+2x-1）}{（lnx+2x）^{2}}$，
令g′（x）=0可得lnx+2x-1=0，
∵y=lnx+2x-1是增函数，且x→0时，y→-∞，当x→e时，y→2e，
∴g′（x）=0有唯一解，不妨设为x₀，显然x₀＞x₁，
∴当x₁＜x＜x₀时，g′（x）＜0，当x＞x₀时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（x₁，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴当x=x₀时，g（x）取得极小值g（x₀）=$\frac{{x}_{0}{e}^{2{x}_{0}}}{ln{x}_{0}+2{x}_{0}}$，
∵lnx₀+2x₀-1=0，∴lnx₀+2x₀=1，2x₀=1-lnx₀=ln$\frac{e}{{x}_{0}}$，
∴x₀e${\;}^{2{x}_{0}}$=e，∴g（x₀）=e．
∴0＜-a＜e即-e＜a＜0时，方程-a=g（x）无解，
当-a=e即a=-e时，方程-a=g（x）有一个解，
当-a＞e即a＜-e时，方程-a=g（x）有两个解，
综上，当-e＜a＜0时，f（x）无零点；
当a=-e时，f（x）有一个零点，
当a＜-e时，f（x）有两个零点．
（2）∵f（x）＜alnx+2ax+（2-k）（e^4x-1）恒成立，
即xe^2x＜（2-k）（e^4x-1）恒成立，
∵x＞0，∴e^4x-1＞0，∴2-k＞$\frac{x{e}^{2x}}{{e}^{4x}-1}$在（0，+∞）恒成立，
设h（x）=$\frac{x{e}^{2x}}{{e}^{4x}-1}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{2x}（{e}^{4x}-2x{e}^{4x}-2x-1）}{（{e}^{4x}-1）^{2}}$，
令m（x）=e^4x-2xe^4x-2x-1，则m′（x）=2e^4x-8xe^4x-2=e^4x（2-8x）-2，
m″（x）=-32xe^4x＜0，
∴m′（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴m′（x）＜m′（0）=0，
∴m（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵当x→0时，h（x）→$\frac{1}{4}$，
∴2-k≥$\frac{1}{4}$，解得k≤$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了函数单调性的判断与函数零点的个数判断，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于难题．