Question

5．若“?x∈[0，$\frac{π}{3}$]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 将条件“?x∈[0，$\frac{π}{3}$]，tanx≤m”转化为“x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，m≥（tanx）_max”，再利用y=tanx在[0，$\frac{π}{3}$]的单调性求出tanx的最大值即可．

解答 解：∵“?x∈[0，$\frac{π}{3}$]，tanx≤m”是真命题，
∴x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，m≥（tanx）_max，
∵y=tanx在[0，$\frac{π}{3}$]的单调递增，
∴x=$\frac{π}{3}$时，tanx取得最大值为$\sqrt{3}$，
∴$m≥\sqrt{3}$，即m的最小值为$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．