Question

15．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系：厂里的固定成本为2.8万元，每生产1百台的生产成本为1万元，每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元）（总成本=固定成本+生产成本）．如果销售收入R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{11，x＞5}\end{array}\right.$，且该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？

Answer 1

分析 （1）由题意得G（x）=2.8+x．由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{11，x＞5}\end{array}\right.$，f（x）=R（x）-G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．
（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．

解答 解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8（0≤x≤5）}\\{8.2-x（x＞5）}\end{array}\right.$．
（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜=3.2（万元）．
当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．
答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．

点评 本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．