Question

10．已知命题p：不等式m²+2m-1≤x+$\frac{1}{x}$对任意x＞0恒成立，命题q：指数函数y=（5-m²）^x是增函数．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q成立的等价条件，利用“p∨q”为真，“p∧q”为假，确定m的取值范围．

解答 解：∵对任意x＞0，x+$\frac{1}{x}$≥2，
∴若不等式m²+2m-1≤x+$\frac{1}{x}$对任意x＞0恒成立，
则不等式m²+2m-1≤2即可，即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，即p：-3≤m≤1，
若指数函数y=（5-m²）^x是增函数，则5-m²＞1，即m²＜4，解得，-2＜m＜2，即q：-2＜m＜2，
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
若p真，q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{m≥2或m≤-2}\end{array}\right.$，解得-3≤m≤-2．
若p假，q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞-2或m＜-3}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得1＜m＜2．
综上：-3≤m≤-2或1＜m＜2．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件求出p，q的等价条件是解决本题的关键．