Question

1．已知函数f（x）=2b•4^x-2^x-1
（Ⅰ）当b=$\frac{1}{2}$时，利用定义证明函数g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当b=$\frac{1}{2}$时，若f（x）-m≥0对于任意x∈R恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（Ⅱ）当b=$\frac{1}{2}$时，f（x）-m≥0即为m≤4^x-2^x-1恒成立，即m≤4^x-2^x-1的最小值，运用配方和二次函数和指数函数的值域，即可求得m的范围；
（Ⅲ）f（x）有零点，即为2b•4^x-2^x-1=0有实数解，由参数分离和指数函数的值域，即可得到b的范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：当b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=4^x-2^x-1，
g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=2^x-2^-x-1，
设m＜n，g（m）-g（n）=2^m-2^-m-1-（2ⁿ-2^-n-1）
=（2^m-2ⁿ）+（2^-n-2^-m）=（2^m-2ⁿ）（1+2^-m-n），
由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，2^m-2ⁿ＜0，
即有g（m）＜g（n），则g（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当b=$\frac{1}{2}$时，f（x）-m≥0即为m≤4^x-2^x-1恒成立，
即m≤4^x-2^x-1的最小值，而4^x-2^x-1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
当x=-1时，取得最小值-$\frac{5}{4}$，
则有m≤-$\frac{5}{4}$；
（Ⅲ）f（x）有零点，即为2b•4^x-2^x-1=0有实数解，
即2b=$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$=（$\frac{1}{2}$）^2x+（$\frac{1}{2}$）^x=[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²-$\frac{1}{4}$，
由于（$\frac{1}{2}$）^x＞0，可得[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²-$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
即有2b＞0，即b＞0．

点评 本题考查函数的单调性的证明，不等式恒成立问题的解法和函数的零点问题，注意转化为函数的最值和方程的解，考查运算能力，属于中档题．