Question

15．若n∈N₊，且n≥2，求证：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1．

Answer 1

分析 利用放缩法来证明，由n（n-1）＜n²＜n（n+1），可得$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，然后用叠加法得证．

解答 证明：由n²＜n（n+1），
即有$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$++…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$；
由n²＞n（n-1），n＞1．
即有$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
则$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$++…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$＜1．
综上可得，$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1（n≥2）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用放缩法，同时还运用了叠加法，属于中档题．