Question

19．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$的两个焦点，M是椭圆上的点，且MF₁⊥MF₂．
（1）求△MF₁F₂的周长；
（2）求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆定义，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=6\sqrt{5}$，即可求△MF₁F₂的周长；
（2）利用${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_0}|$，即可求点M的坐标．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$中，长半轴$a=3\sqrt{5}$，焦距$2c=2\sqrt{45-20}=10$
（1）根据椭圆定义，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=6\sqrt{5}$
所以，△MF₁F₂的周长为$|{{F_1}{F_2}}|+|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=6\sqrt{5}+10$…（5分）
（2）设点M坐标为（x₀，y₀）．
由MF₁⊥MF₂得，${|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}={|{{F_1}{F_2}}|^2}={10^2}=100$
又${（|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|）^2}={（6\sqrt{5}）^2}=180$
∴$|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}{[{（|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|）^2}-（{|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}）]^2}=40$
∵${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|{M{F_1}}|•|{M{F_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_0}|$，
∴|y₀|=4，则|x₀|=3
∴点M坐标为（3，4）或（3，-4）或（-3，4）或（-3，-4）…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，属于中档题．